矩阵能不能相似对角化

矩阵可以相似对角化吗

1、对角化和相似对角化是没有区别的，取对角化矩阵的时候，在满足特征值分别可取与原矩阵阶数相同的特征向量时，该对角矩阵即与原矩阵相似，所以说这两个其实是同一件事的不同说法。

2、如果是实对称矩阵（可相似对角化矩阵）就可以，行列式就是特征值的乘积，秩就是非零特征值的个数。

3、如果一个矩阵满足以上条件，它就可以通过相似变换被对角化，也就是可以表示为一个对角矩阵与一个相似变换矩阵的乘积形式。在对角矩阵中，矩阵的特征值按照对应的特征向量的顺序排列在对角线上，其它位置的元素都为零。

4、如果存在一个矩阵 ，使 的结果为对角矩阵，则称矩阵 将矩阵 对角化。对于一个矩阵来说，不一定存在将其对角化的矩阵，但是任意一个n×n矩阵如果存在n个线性不相关的特征向量，则该矩阵可被对角化。

5、可对角化矩阵是线性代数和矩阵论中重要的一类矩阵。如果一个方块矩阵A相似于对角矩阵，也就是说，如果存在一个可逆矩阵P对角矩阵，则它就被称为可对角化的。

6、传递性：如果 A和 B相似， B和 C相似，那么 A也和 C相似。如果 n阶矩阵 A类似于 B，则 A和 B的特征多项式是一样的，因此 A和 B的本征值是相同的。

如何断一个矩阵是否可以相似对角化?

1、矩阵可相似对角化的条件如下：矩阵必须是一个方阵，也就是行数等于列数。矩阵的特征多项式必须能够完全分解为线性因子的乘积，即特征多项式没有重复的特征根。

2、可相似对角化的充分必要条件是：n阶方阵存在n个线性无关的特征向量。推论：如果这个n阶方阵有n个不同的特征值，那么矩阵必然存在相似矩阵。

3、n阶矩阵若有n个线性无关的特征向量，则它相似于对角矩阵。先求特征值；求特征值对应的特征向量；现在就可以断一个矩阵能否对角化：若矩阵的n重特征值对应n个线性无关的特征向量，则它可以对角化，否则不可以。

4、所以最后可以反复进行这个过程整成对角矩阵。

矩阵为什么可以相似对角化?

相似的矩阵必有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量。如果A相似B，则存在非奇异矩阵是P，有P^(-1)*A*P＝B。det(xI-B)=det(xI-P^(-1)*A*P)=det(P^(-1))=det(xI-A*)det*P)=det(xI-A)。

矩阵可对角化的充分必要条件是：n阶方阵存在n个线性无关的特征向量。推论：如果这个n阶方阵有n个不同的特征值，那么矩阵必然存在相似矩阵。

相似对角化是线性代数中最重要的知识点之一。如果一个方阵A相似于对角矩阵，也就是说存在一个可逆矩阵P使得P-1AP是对角矩阵，则A就被称为可以相似对角化的。

An可相似对角化的充要条件是：An的k重特征值满足n-r(λE-A)=k；(3)充分条件：如果An的n个特征值两两不同，那么An一定可以相似对角化；(4)充分条件：如果An是实对称矩阵，那么An一定可以相似对角化。

对角化和相似对角化是没有区别的，取对角化矩阵的时候，在满足特征值分别可取与原矩阵阶数相同的特征向量时，该对角矩阵即与原矩阵相似，所以说这两个其实是同一件事的不同说法。